微分 積分関連

積分と極限の交換条件

Arzela の定理

有界閉集合 $[a, b$ ] 上の Riemann 積分可能な関数列 $\{f_{n} (x) \}_{n=1}^{\infty}$ が Riemann 積分可能な関数 $f(x)$ に各点収束しているとする.
このとき, 関数列 $\{f_{n} (x) \}_{n=1}^{\infty}$ が一様有界 ( $n$ に依らない定数によって抑えられる ) とき, 積分と極限は交換可能. すなわち

$\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx = \int_{a}^{b} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx }$

が成り立つ.
上の条件は一様でも良い ...
広義積分の場合, 可積分な優関数があればよかったハズ...

https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT125B/materials/Luxemburg-Arzela.pdf

線形代数関連

有名事実1

実対称行列の固有値は実数である
(証明) $\lambda \in \mathbb{R}, \, x \in \mathbb{R}^{n}$ を固有値と対応する固有ベクトルとする. このとき, 共役転置をとったものに関して二次形式から $\displaystyle{ \overline{x}^{t} A x = \overline{x}^{t} (\lambda x) = \lambda \| x \|}^{2} = (\overline{x}^{t} \overline{\lambda}) x = \overline{\lambda} \| x \|^{2}$ が成り立つので $(\lambda - \overline{\lambda}) \|x\|^{2} = 0$ から $\lambda = \overline{\lambda}$ : 実数

有名事実2

実対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する
(証明) 固有値 $\lambda, \, \mu \in \mathbb{R}$ に対応するベクトルをそれぞれ $x, \, y \in \mathbb{R}^{n}$ とする. このとき, $\displaystyle{ x^{t} A y = x^{t} (\mu y) = \mu x^{t} y = (\lambda x)^{t} y = \lambda x^{t} y}$ から $(\lambda - \mu) x^{t} y = 0$ が成り立つので, 固有値が異なれば $\lambda \neq \mu$ より $x^{t} y = 0$ . すなわち直交する.